Potęgi

Powtórka z teorii

Treści i związane z nimi wzory z działu Potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym:

1. Pojęcie potęgi: Potęgą liczby \(a\in \mathbb{R}\) o wykładniku \(n\in \mathbb{N}, a >1\) nazywamy iloczyn n jednakowych czynników równych a i oznaczmy \(a^{n}\).

\(a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}\)
 n czynników

Ponadto przyjmujemy, że: \(a^{1}=a\) oraz \(a^{0}=1\).

Zobacz przykłady          &          Rozwiąż zadania          (więcej…)

Potęgowanie- przykłady

1. Pojęcie potęgi

Zasady potęgowania, kiedy podstawa potęgi jest liczbą nieujemną:

  • \(2^{4}=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16\)
  • \((\frac{2}{3})^{3}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{27}\)
  • \(1^{15}=1\)
  • \(0^{25}=0\)

Zapamiętaj!

\(a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}\)
n czynników

 

Musimy pamiętać o uwzględnieniu znaku w przypadku potęgowania liczb ujemnych.

  • \((-5)^{3}=(-5) \cdot (-5) \cdot (-5)=-125\)
    - jeżeli podstawa potęgi jest liczbą ujemną, wykładnik jest nieparzysty, to potęga również jest liczbą ujemną
  • \((-3)^{4}=(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)=81\)
    - jeżeli podstawa potęgi jest liczbą ujemną, wykładnik jest parzysty, to potęga jest liczbą dodatnią

Zapamiętaj!

Dla \(a >0\) mamy:
\((-a)^{n}=-a^{n}\) dla n nieparzystych
\((-a)^{n}=a^{n}\) dla n parzystych

Pamiętaj, że dla wykładnika parzystego \(-a^{n}\neq (-a)^{n}\), czyli:

  • \(-3^{4}=-3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=-81\) - skoro nie ma nawiasu, podstawą jest liczba 3- mino parzystego wykładnika, wynik potęgowania jest liczbą ujemną!!!

Ponadto przyjmujemy, że: \(a^{1}=a\) i \(a^{0}=1\) więc w szczególności:

  • \(34^{1}=34\)
  • \(-22^{1}=-22\)
  • \((-22)^{1}=-22\)
  • \((\frac{2}{51})^{1}=\frac{2}{51}\)
  • \(2^{0}=1\)
  • \((-5)^{0}=1\)
  • \((\frac{1}{11})^{0}=1\)
  • \((0,453)^{0}=1\)

Zapamiętaj!

\(a^{1}=a\)
\(a^{0}=1\) 

 Wróć do teorii
Rozwiąż zadania

2. Mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych podstawach:

Mnożenie:
  • \(3^{3} \cdot 3^{2}=3^{3+2}=3^{5}=243\)
  • \(5^{9} \cdot 5^{-7}=5^{9+(-7)}=5^{2}=25\)
  • \((\frac{2}{5})^{-5}\cdot (\frac{2}{5})^{7}=(\frac{2}{5})^{-5+7}=(\frac{2}{5})^{2}=\frac{4}{25}\)

Zapamiętaj!

\( a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\)

Dzielenie:
  • \(4^{11} : 4^{8}=4^{11-8}=4^{3}=64\)
  • \(\frac{6^{5}}{6^{3}}=6^{5-3}=6^{2}=36\)
  • \((\frac{2}{5})^{-5} : (\frac{5}{2})^{7}=(\frac{2}{5})^{-5}\cdot (\frac{2}{5})^{7 }(\frac{2}{5})^{-5+7}=(\frac{2}{5})^{2}=\frac{4}{25}\)

Zapamiętaj!

\(a^m : a^n = a^{m-n}\)

Pojęcie potęgi- zadania

1. Oblicz:

Rozwiązanie


2. Oblicz:

 Rozwiązanie

3. Oblicz:

 Rozwiązanie

4. Oblicz:


Rozwiązanie

5. Oblicz:


Rozwiązanie

 Wróć do teorii
Zobacz Przykłady

Zadania wybrałam z zestawów dostępnych na stronie matematyka.pisz.pl - polecam lekturę.

Własności potęg- zadania

Wcześniejsze zadania wraz z dokładnymi rozwiązaniami, przypomniały Ci jak należy potęgować. Czas sprawdzić czy opanowałeś wzory i potrafisz je zastosować, żeby zadanie rozwiązać możliwie jak najszybciej.

Pierwsza część zadań- rozgrzewka. Rozwiąż te kilka przykładów, porównaj swoje wyniki z odpowiedziami. Będziesz miał obraz swojej wiedzy i umiejętności.

Druga część zadań- dość duża porcja zadań dotyczących potęg- do nauki i powtórki. Wybierz te, które wydają Ci się trudne i sprawdź się. Zachowaj wszystkie, nawet niedokończone obliczenia. W szkole będziesz mógł pokazać, z czym miałeś problem. Powodzenia!

  Wróć do teorii
Zobacz Przykłady

Potęgi- zadania powtórzeniowe

Sprawdź się! Zadania powtórzeniowe.

 Wróć do teorii

 

 

 

Notacja wykładnicza

Kilka zadań dotyczących notacji wykładniczej znajdziesz tutaj.