Wielokąty i okręgi

W tym dziale zajmujemy się wielokątami i okręgami opisanymi lub wpisanymi w wielokąty. Poniżej podsumowanie wiedzy i umiejętności, które powinieneś posiadać przed sprawdzianem. Sprawdź się!
Jeśli wolisz powtórkę w wersji papierowej- zagadnienia i zadania znajdziesz tutaj.

Wielokąty i okręgi- poprawy sprawdzianów

Kochani, jeśli za pierwszym razem nie poszedł Wam sprawdzian najlepiej, to niebawem będzie okazja do poprawy. Nadal obowiązują te same zagadnienia, więc jak będziecie potrafili rozwiązać przykładowe zadania umieszczone na stronie, to na pewno napiszecie teraz znacznie lepiej!  Sprawdzian układam dokładnie z tych zadań, więc bądźcie wytrwali i przeliczcie wszystkie przykłady. (link do zadań powyżej)

Powodzenia!

 

Okrąg opisany na trójkącie

Powinieneś wiedzieć, że:

  • na każdym trójkącie można opisać okrąg,
  • środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta,
  • jeżeli trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg, to przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu,
  • jeśli jeden z boków trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu, to trójkąt ten jest prostokątny.

Upewnij się, że potrafisz:

  • opisać okrąg na dowolnym trójkącie (ostrokątnym, prostokątnym i rozwartokątnym),
  • określić położenie środka okręgu opisanego na trójkącie, znając miary kątów tego trójkąta,
  • rozwiązać zadania rachunkowe związane z okręgiem opisanym na trójkącie (również prostokątnym).

Zadania powtórzeniowe:

1. Opisz okrąg na trójkącie:     a) ostrokątnym        b)prostokątnym     c)rozwartokątnym.

2. Ustal, gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie, w którym miary dwóch kątów wynoszą:

a) 39 i 41 stopni  b) 48 i 42 stopnie  c) 49 i 42 stopnie

3. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 11 i 12 cm.

4. W trójkącie prostokątnym KLM punkt N jest środkiem przeciwprostokątnej LM. Kąt KLM ma miarę . Znajdź miary kątów w trójkątach KLN i KNM.

5. Oblicz miarę kąta alfa.

Styczna do okręgu

Powinieneś wiedzieć, że:

  • prosta jest styczna do okręgu, jeśli ma z tym okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny,
  • styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Upewnij się, że potrafisz:

  • skonstruować prostą styczną do okręgu,
  • skonstruować okrąg styczny do prostej.,
  • rozwiązać zadania rachunkowe związane z prostą styczną do okręgu.

Zadania:

  1. Narysuj dowolny okrąg, zaznacz na nim punkt A. Skonstruuj prostą styczną do tego okręgu, przechodzącą przez punkt A.
  2. Narysuj dowolną prostą i zaznacz punkt S nieleżący na tej prostej. Skonstruuj okrąg o środku w punkcie S, styczny do narysowanej prostej.
  3. Narysowane proste są styczne do okręgów. Oblicz miarę kąta alfa.

 

4. Narysowana prosta jest styczna do okręgu. Oblicz długość odcinka x.

5. Narysowana prosta AB jest styczna do okręgu o promieniu 4 cm. Pole trójkąta ABC jest równe 80 cm2. Oblicz długość odcinka AB.

Okrąg wpisany w trójkąt

Powinieneś wiedzieć, że:

  • okrąg jest wpisany w wielokąt, jeśli jest styczny do wszystkich jego boków,
  • w każdy trójkąt można wpisać okrąg,
  • środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Upewnij się, że potrafisz:

  • skonstruować okrąg wpisany w dowolny trójkąt,
  • rozwiązać zadania rachunkowe związane z okręgiem wpisanym w trójkąt.

Zadania powtórzeniowe:

  1. Narysuj dowolny trójkąt. Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt.
  2. Narysuj dowolny kąt ostry. Na jednym z ramion zaznacz punkt A. Skonstruuj okrąg styczny do obu ramion kąta tak, aby punkt A był jednym z punktów styczności.
  3. W trójkąt równoramienny ABC, w którym kąt między ramionami AC i BC ma 100 stopni, wpisano okrąg o środku O. Oblicz miarę kąta AOB.
  4. Oblicz miary kątów trójkąta ABC:

 

Wielokąty foremne

Powinieneś wiedzieć, że:

  • wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty jednakowej miary,
  • n-kąt foremny ma n osi symetrii,
  • jeżeli wielokąt foremny ma parzystą liczbę wierzchołków to posiada środek symetrii, w przeciwnym razie nie.

Upewnij się, że potrafisz:

  • skonstruować sześciokąt foremny o boku zadanej długości,
  • na podstawie konstrukcji sześciokąta foremnego skonstruować trójkąt równoboczny oraz 12-kąt foremny,
  • obliczyć miarę kąta wewnętrznego dowolnego wielokąta foremnego,
  • na podstawie miary kąta wewnętrznego określić rodzaj wielokąta foremnego.

Zadania powtórzeniowe:

  1. Skonstruuj sześciokąt foremny o boku 4 cm. Na tym samym rysunku zaznacz trójkąt równoboczny.
  2. Korzystając z konstrukcji sześciokąta foremnego skonstruuj dwunastokąt foremny.
  3. Oblicz, jaką miarę ma kąt wewnętrzny:
    a) pięciokąta foremnego    b) ośmiokąta foremnego    c) sześćdziesięciokąta foremnego
  4. Ustal, ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę:
    a) 140                   b) 144                       c)160

 

Wielokąty foremne- okręgi wpisane i opisane

Powinieneś wiedzieć, że:

  • środek okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym leżą w tym samym punkcie,
  • między
  • n-kąt foremny ma n osi symetrii,
  • jeżeli wielokąt foremny ma parzystą liczbę wierzchołków to posiada środek symetrii, w przeciwnym razie nie,
  • środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym dzieli wysokość trójkąta w stosunku 1:2,

Upewnij się, że potrafisz:

  • określić długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym o zadanym boku,
  • określić długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie o zadanym boku,
  • określić długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na sześciokącie foremnym o zadanym boku,
  • określić długość boku trójkąta równobocznego, kwadratu lub sześciokąta foremnego, gdy znana jest długość promienia okręgu opisanego na tych wielokątach,
  • określić długość boku trójkąta równobocznego, kwadratu lub sześciokąta foremnego, gdy znana jest długość promienia okręgu wpisanego w te wielokąty,
  • rozwiązywać zadania wykorzystując wyżej wymienione umiejętności w szerszym kontekście.

Zadania powtórzeniowe:

Podręcznik i zbiór zadań- wszystkie zadania z tego tematu.

ZADANIA dotyczące okręgów wpisanych i opisanych na wielokątach foremnych

 

Poznaliście wzory na długości promieni okręgów wpisanych i opisanych na wielokątach foremnych. Najbardziej podstawową umiejętnością jest korzystanie z nich. Poniższe zadania sprawdzają czy je rozumiecie. Zadania w wersji do druku znajdziesz tutaj.

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny

Najczęściej występującym w zadaniach wielokątem foremnym jest trójkąt równoboczny. We wcześniejszych zadaniach sprawdziłeś, czy potrafisz zastosować wzory na długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym. Czas na zadanka, w których obliczenie tych długości jest tylko częścią pełnego rozwiązania. Poniżej zamieszczam dwa rozwiązane przykłady TYPOWEGO
zadania „sprawdzianowego” oraz więcej podobnych przykładów do samodzielnego treningu. Zadania w wersji do druku znajdziesz tutaj.

Przykład 1 W trójkąt równoboczny wpisano okrąg. Oblicz pole zacieniowanej figury.

Zadania treningowe

Przykład 2 Oblicz pole pierścienia utworzonego przez okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny o boku 16.

Zadania treningowe